تقارن
تقارن
symmetry
تقارن در واقع یک ویژگی هندسی برای اجسام است. البته در نگاه اول! وقتی می‌گوییم چیزی متقارن است که وقتی یک تبدیل روی آن انجام می‌دهیم مثلاً آنرا می‌چرخانیم باز هم همان شکل یا جسم قبلی باشد.
تقارن Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29) showing fragment of Euclid’s Elements
Reflection symmetry
ببرها نمونه‌ای طبیعی از تقارن هستند
سقف مسجد شیخ لطف الله در اصفهان
تقارن یا همامونی به معنای تشابه بخش‌ها حول محور یا مرکز تقارن است . این واژه در هنرهای گوناگون به ویژه هنرهای تجسمی و در علومیمانند فیزیک بسیار کاربرد دارد.
در علوم، به طور مطلق ناوردایی نسبت به تبدیلات هندسی را تقارن گویند مفهوم تقارن به مفاهیمی چون تقارن در زمان (ناوردایی تحت تبدیل هندسی انتقال در مولفه صفرم چاربردار مکان) نیز تعمیم داده می‌شود.
در روزمره تقارن یعنی زیبایی در نسبت ها تعادل در ریاضی ما تعریف دقیق تری راجع به این موضوع داریم.
تعریف 1 : نقطه ي ‘A را قرينه ي نقطه ي A نسبت به نقطه يO گوئيم هرگاهA را به اندازه ي 180 درجه حولO درصفحه دوران دهيم به ‘A برسيم . با توجه به اين تعريف نقطه ي O وسط پاره خط خواهد بود .
تعريف 2 :نقطه ي’A را قرينه ي نقطه يA نسبت به خط d گوئيم هرگاه Aرا به اندازه ي 180 درجه حول d در فضا دوران دهيم به’A برسيم .
باتوجه به اين تعريف، خط d عمود منصف پاره خط خواهد بود .
تقارن در هندسه
یک شی را دارای تقارن می نامیم زمانی که ان شی را بتوان به دو یا چند قسمت تقسیم کرد که ان ها قسمتی از یک طرح سازمان یافته باشند
یعنی بر روی شکل تنها جابجایی و چرخش و بازتاب و تجانس انجام شود و در اصل شکل تغییری بوجود نیایید انگاه ان را تقارن می نامیم
انواع تغییرات تقارنی
1-تقارن بازتابی :مثلا اگر بتوان شکل را طوری تصور کرد که انگار قسمتی از ان به طور ایینه ای نسبت به قسمت دیگر تکرار شده است.
2-تقارن چرخشی: اگر شکل نسبت به یک نقطه ی خاص چرخش کند.
3-تقارن انتقالی: اگر شکل جابجا شود ولی تغییری نکند.
4-تقارن تجانسی : اگر تنها ابعاد شکل تغییر کند و در کلیت تغییری بوجود نیایید.
تقارن (کلاس دوم)
نویسنده :رضا سازمند
تقارن :
تقارن به معنی قرین شدن با یکدیگر، با هم یار و دوست گردیدن می باشد و در اصطلاح هندسه وجود تقارن نشان دهنده ی وجود قرینه شدن نسبت به یک نقطه یا نسبت به یک خط (محور) می باشد.
تقارن محوری:
چنانچه قرینه نسبت به یک خط وجود داشته باشد، تقارن را تقارن محوری نامند و خطی که شکل را به دو قسمت قرینه تقسیم می کند، «محور تقارن» آن شکل نامیده می شود.
تقارن محوری
تقارن مرکزی:
چنانچه قرینه نسبت به یک نقطه وجود داشته باشد، تقارن را تقارن مرکزی نامند و آن نقطه که قرینه ی هر نقطه از شکل نسبت به آن، نقطه ای ازخود شکل است را «مرکز تقارن» می گوییم.
تقارن مرکزی
کاربرد تقارن:
1- تقارن نه فقط به عنوان یک مفهوم جالب و شگفت انگیز هندسی مورد توجه است ، بلکه وجود تقارن در ساختمان ملکولهای اجسام و بلورهای آن باعث می شود که دانشمندان بتوانند خواص این اجسام را به طور دقیق بررسی می کنند، اگر با کمی دقت به اطراف خود، به گیاهان، اجسام و موجودات نگاه کنیم متوجه خواهیم شد که شکل بیشتر آن ها متقارن است و همین متقارن بودن زیبایی خاصی به آن ها بخشیده است. وجود تقارن در ساختمان بدن انسان نیز یکی از عامل های اساسی زیبایی است.
2- هر قطر دایره یک محور تقارن برای دایره است. بنابراین دایره متقارن ترین شکل هاست. به همین دلیل افلاطون فیلسوف بزرگ یونانی دایره را زیباترین شکل مسطحه می نامد اشکالی که قابل قسمت به بخش های برابر قابل انطباق نباشند، نامتقارن نامیده می شوند.
1- کدام یک از اشکال زیر بیشتر از یک محور تقارن دارد؟
الف) ذوزنقه متساوی الساقین
ب) مثلث متساوی الساقین
ج) متوازی الاضلاع
د) شش ضلعی منتظم
2-کدام شکل مرکز تقارن ندارد؟
الف) ذوزنقه
ب) مستطیل
ج) لوزی
د) متوازی الاضلاع
3- در کدام شکل قطر می تواند محور تقارن نیز باشد.
الف) هر سه مورد
ب) متوازی الاضلاع
ج) مستطیل
د ) لوزی
تقارن
تقارن در واقع یک ویژگی هندسی برای اجسام است. البته در نگاه اول! وقتی می‌گوییم چیزی متقارن است که وقتی یک تبدیل روی آن انجام می‌دهیم مثلاً آنرا می‌چرخانیم باز هم همان شکل یا جسم قبلی باشد.
شاید بشود گفت سه دسته تقارن اصلی داریم:
تقارن انعکاسی
تقارن دورانی
تقارن انتقالی و …
تقارن انعکاسی:
در تقارن انعکاسی در واقع جسم در دو طرف یک محور خاص کاملاً یکسان است اما فقط منعکس شده! فهمیدید؟ یعنی اینکه انگار نیمی از جسم تصویر نیم دیگر جسم در آینه است بنابراین به این تقارن تقارن آینه ای نیز می‌گویند. به شکلها نگاه کنید…یک شکل می‌تواند چند محور تقارن داشته باشد مثلاً یک مربع چهار محور تقارن آینه ای دارد.
تقارن دورانی:
در این نوع تقارن در واقع اگر جسم را حول یک نقطه بچرخانیم دوباره مثل خودش می‌شود مثلاً یک مثلث را در نظر بگیرید یک مثلث متساوی الاضلاع …
اگر آنرا حول نقطه وسط آن 60 درجه بچرخانیم دوباره خودش می‌شود… نه؟ شکلها را ببینید … سعی کنید بفهمید هر کدام از شکلها را چند درجه باید بچرخانیم تا دوباره خودشان شوند…
تقارن انتقالی:
این تقارن شاید کمی بنیادی تر باشد و در خیلی جاها از ریاضی و فیزیک ظاهر می‌شود در واقع جسمی را تحت انتقال متقارن می‌گوییم که اگر آنرا مقداری خاصی جابه جا کنیم یا بر روی آن مقدار خاصی جابجا شویم هیچ چیزی عوض نشود!
مثلاً یک شبکه بلوری ساده مکعبی مثل بلور نمک را در نظر بگیرید، فرض کنید روی یک اتم نشسته ایم و اطراف را سیاحت می‌کنیم. حالا برویم و روی یک اتم کناری بنشینیم اگر بلورمان اندازه بینهایت داشته باشد که ما مرزها را نبینیم، دنیایی که از روی اتم دوم می‌بینیم کاملاً شبیه دنیای اتم اول است. در واقع هیچ چیزی عوض نشده و ما هیچ تفاوتی حس نمی کنیم. البته شبکه های بلوری تقارنهای دیگر راهم معمولاً دارند.
تقارن در ریاضی:
یک مثال ساده از تقارن در ریاضی تقارنهای جبری است: عبارت را در نظر بگیرید. اگر جای a و b را عوض کنیم، بعضی به جای همه aها و b و به جای همه bها a بگذاریم باز هم عبارتمان همان عبارت قبلی خواهد بود … پس این عبارت نسبت به جابجایی a و b متقارن است.
البته واضح است که هر عبارتی متقارن نیست…
توابع متقارن نیز زمینه دیگری از حضور تقارن در ریاضیاست؛ مثلاً توابعی که شکل آنها نسبت به محورهای متقارن است مثل منحنی در این توابع اگر x را به -x تبدیل کنیم مقدار y عوض نمی شود.
تقارن در فیزیک:
معمولاً تقارن در فیزیک به شکل تقارن در قوانین مطرح می‌شود. کار را با یک مثال شرو می‌کنیم: نیروی گرانشی بین دو جرم را در نظر بگیرید، دو جرم داریم هر یک با جرمهای و در فاصله R از هم خیلی از شما می‌دانید که نیروی جاذبه بین این دو جرم برابر است با (طبق قانون گرانش نیوتون) که ما هم یک عدد ثابت جهانی است. البته نیرو بردار است و جهت نیرویی هم که به یک جرم وارد می‌شود به سمت جرم دیگر است. حالا بیایید تقارنهای این قانون را بررسی کنیم.
اگر فقط همین دو جرم در دنیا باشند:
وقتی یکی از جرمها را حول دیگری بچرخانیم هیچ چیز عوض نمی شود. نه مقدار نیرو و نه جهت آن …جهت آن کماکان به سمت آن یکی جرم است. در واقع جرم چرخانده شده و جرم ثابت هیچکدام تغییری در شرایط حس نمی کنند.
اگر جای دو جرم را عوض کنیم به نظرتان چیزی عوض می‌شود؟ مقدار نیرو مثلاً؟ نه باز هم همان آش و همان کاسه یا اینکه اگر هر دو جرم را به یک مقدار و در یک جهت انتقال دهیم، یعنی جابه جا کنیم باز چیزی عوض نمی شود نه اندازه نیرو و نه جهت آن… می‌بینید … یک قانون چقدر تقارن می‌تواند داشته باشد؟…
همین تقارن‌ها هستند که زندگی ما را آسان می‌کنند… تصور کنید که مثلاً به خاطر حرکت زمین در فضا مقدار جاذبه آن می‌خواست هی عوض بشه … زندگی سخت نمی شد؟
بیایید کمی راجع به تقارن در زمان صحبت کنیم پدیده های فیزیکی چطور می‌توانند نسبت به زمان متقارن باشند…
در واقع دو جور تقارن در زمان میتوانیم داشته باشیم یکی تقارن انتقالی و یکی تقارن انعکاسی.
تقارن انتقالی یعنی اینکه فیزیک مساله مان بر اثر انتقال در زمان که همان گذر زمان خودمان است عوض نشود. مثالها خیلی ساده اند. مثلاً یک کتاب که روی میز است یک نیروی وزن به آن وارد می‌شود یک نیرو از طرف میز هر دوی اینها در تمامی زمانها ثابت اند و البته کتاب هم ساکن! هر چه در مزان جلو برویم هیچ فرقی حاصل نمی شود… اما مثلاً یک توپ که پرت شده است … شرایط آن در زمانهای مختلف، متفاوت خواهد بود با گذر زمان مکان و سرعت آن عوض خواهند شد و حرکت آن نسبت به زمان تقارن انتقالی ندارد.
بعضی از مسائل هم تقارن انتقالی در زمان دارند اما به شرط اینکه مقدار انتقالهای مقدار خاصی باشد مثلاً حرکت یک آونگ را در نظر بگیرید… آونگی که در طول زمان هی می‌رود و بر می‌گردد به وضوح حرکت آن در زمان عوض می‌شود اما اگر زمان را به مقدار خاصی، دقیقاً برابر با دوره تناوب آونگ یعنی زمانی که طول می‌کشد تا آونگ به جای اول برگردد، انتقال دهیم هیچ چیز عوض نمی شود. یعنی شرایط دقیقاً همان شرایط در زمان T ثانیه قبل تر است (T دوره تناوب آونگ است.)
مثلاً حرکت زمین به دور خورشید اگر ساعت را به اندازه یک سال جلو ببریم حرکت کاملاً مثل یکسال قبل است، همه چیز مثل یک سال قبل رخ می‌دهد. این جور پدیده های متقارن نسبت به انتقال در زمان را متناوب هم می‌گوییم.
اما تقارن انعکاسی در زمان چیه؟
فرض کنید جهت گذر زمان عوض شد … همه زمانهای t به زمان -t تبدیل می‌شوند… یعنی همه چی شروع به حرکت به سم عقب کنند … چه چیزهایی همان طور مثل قبل باقی می‌مانند و چه چیزهایی عوض می‌شوند؟
مثلاً همین حرکت آونگ را در نظر بگیرید… اگر از حرکت آن یک فیلم تهیه کنید و فیلم را به سمت عقب نمایش دهید. آیا کسی متوجه می‌شود که فیلم عقبکی در حال نمایش است؟ نه هیچ کس وقتی جهت نمایش فیلم را عوض می‌کنیم حرکت آونگ درست مثل حرکت آن در حالت عادی است چه فرقی می‌کند که هی برود و بیاید و برود و بیاید و برود و بیاید … یا اینکه بیاید و برود ، بیاید و برود ، بیاید و برود؟
اینجور مسائل نسبت به انعکاس زمان متقارنند.
اما مثلاً فرض کنید یک قطره جوهر را در آب بیندازید و از آن فیلم بگیرید… قطره کم کم در آب پخش می‌شود و پس از مدتی آب کاملاً یکنواخت و رنگی می‌شود … حال فیلم را بر عکس می‌کنیم! یک لیوان داریم که توی آن آب رنگی است بعد یکباره رنگهای توی آب جمع می‌شوند در یک نقطه و می‌شوند یک قطره جوهر و ازآب بیرون می‌آیند! لیوانهای می‌شوند یک لیوان آب تمیز! این یک کم عجیب غریب به نظر می‌آید!
نشنیدید می‌گن آب رفته به جوی باز نمی گردد؟
یا مثلاً یک مثال دیگر …. فرض کنید یک تخم مرغ از دستتان می‌افتد می‌شکند! فیلم آنرا برعکس می‌کنیم! یک تخم مرغ شکسته جمع و جور می‌شود و سالم می‌شود و می‌آید در دستتان! این پدیده‌ها نسبت به انعکاس زمان متقارن نیستند.
اما چه چیزی تعیین می‌کند که یک پدیده نسبت به عقبگرد زمان متقارن باشد؟
اجازه دهید با سک مثال کار را پیش ببریم.
فرض کنید یک جعبه خالی داریم که در گوشه آن یک سوراخ قرار دارد که از بیرون میتوانیم یک توپ را با سرعت به داخل پرت کنیم…
فرض کنید یک توپ را از سوراح به داخل جعبه بیندازیم توپ شروع می‌کند توی جعبه به در و دیوار خوردن و این ور و اون ور رفتن، توپمان هم از این شیطونک هاست که خیلی انرژِ از دست نمی دهد. فرض کنید تمام برخوردها کشسان هستند و سرعت توپ کم نمی شود. از این فیلم می‌گیریم …
فیلم را بر عکس می‌کنیم … یک توپ ورجه و ورجه می‌کند و یکباره در یکی از حرکتها از سوراخ جعبه به خارج می‌رود …. خیلی چیز عجیبی نیست. فرض کنی یکبار که دارید توی اتاق توپ بازی می‌کنید توپتان از مثلاً دریچه هوا کش بیرون رود.
پس حرکت این توپ نسبت به انعکاس زمان متقارن است.
اما حالا یک حالت دیگر 7 ، 8 تا توپ داریم… که یکی یکی آنها را به داخل جعبه پرت می‌کنیم … توپها شروع می‌کنند به ورجه و ورجه … حالا فیلم را بر عکس می‌کنیم یک مست توپ در حال ورجه و ورجه اند که ناگهان یکی یکی از سوراخ خارج می‌شوند! پشت سر هم!
این یکی اما عجیب است . یکباره 7، 8 تا توپ که دارند تصادفی ورجه و ورجه می‌کنند از یک سوراخ خارج شوند …. پس اینبار دیگر تقارن زمانی نداریم….
اما فرق این دو مساله چیست؟ جعبه همان جعبه … توپها همان توپ … چرا اولی نسبت به زمان متقارن و دومی غیر متقارن است؟
در واقع این موضوع یک ریشه اساسی دارد … قانون دوم ترمودینامیک . قانون دوم ترمودینامیک می‌گوید که تمامی پدیده‌ها به سمتی می‌روند که بی نظمی سیستم را افزایش دهند. و موقعی یک پدیده برگشت پذیر است یا اینکه نسبت به انعکاس زمان متقارن است که حرکت سیستم در هر دو جهت زمان تغییری در مقدار بی نظمی سیستم ایجاد نکند. اما اگر حرکت در یک جهت باعث افزایش بی نظمی شود. حرکت در جهت عکس امکان پذیر نیست . یا حداقل خود بخودی رخ نمی دهد و دیگر فیزیک حاکم انعکاس زمان را بر نمی تابد!
اما یک نکته ای هست: قانون دوم ترمودینامیک تنها در ترمودینامیکی برقرار است!
ترمودینامیکی یعنی حالاتی که تعداد اجزاء سیستم زیاد نه یا اینکه درجات آزادی سیستم زیاد است. مثلاً قانون دوم برای یک یا دو توپ صادق نیست یا حداقل اینکه قطعی نیست. امکان دارد حرکت کاملاً بی نظم توپ منجر به عبور آن از دریچه جعبه شود و به نوعی نظم برسیم اما وقتی تعداد توپها زیاد می‌شود. سر و کله قانون دوم پیدا می‌شود دیگر اینکه سیستم طوری رفتار کند که رفتار بی نظم 7 و 8 تا توپ یکباره منظم شود کاملاً نیز ممکن می‌شود.
حالا شاید بشود توضیحاتی راجع به پدیده هایی مثل شکسته شدن تخم مرغ یا مثلاً پخش جوهر در آب ارائه داد … این دیگر با خودتان.
نویسنده:طاهایاسری
منبع : وبسایت ریاضی آسان و سریع
وبسایت تبیان
